汽车加油问题的数学推导过程(用最少的汽油)(Reprint)

题目如下：

　　一辆载油500升的汽车从A开往1000公里外的B，已知汽车每公里耗油量为1升，A处有无穷多的油，其他任何地点都没有油，但该车可以在任何地点存放油以备中转，问从A到B最少需要多少油。

  

       这个题想了好多天也没想出来，在网上找答案也都是基本相同的，只给出了一个结论，而没有一个详细推导过程。今天没事在家仔细的推导了一下，终于有些眉目了。记录如下：

由最少耗油的要求，先得有几个前提：

              1.汽车到达终点时油箱是空的。

              2.路上的每一个中转点都没有剩下油。 

      现在画一个数轴，代表起点到终点的路径，在这个数轴上取m个点，分别记为X(1)，X(2)，...，X(m)。X(i)表示第i个点到终点的距离。1号点为起点，m号点为终点。所以有X(1)=0，X(m)=1000。设汽车油箱的容量为A，由题目可知A=500。设S(i)表示在第i最少存放多少升油，那么显然S(m)=0，而我们要求的就是S(0)。再设n(i)为从第i-1点到第i点需要的往返次数（注意，一去一回代表一次往返）。好，以上就是需要定义的一些符号，下面开始推导过程： 

      从i-1点往i点运油时，最节省的情况是从i-1点出发时应该油箱装满油，然后在i点放下油后回到i-1点时油箱是空的，这时候运油的效率是最高的。所以有：

                             S(i) = A - [X(i)-X(i-1)] + {A - 2*[X(i) - X(i-1)]}*n(i)。

上式中A - [X(i)-X(i-1)]是最后一次从i-1点到i点油箱中剩下的油；{A - 2*[X(i) - X(i-1)]}*n(i)表示在n(i)次往返过程中总共在i点存下的油。把上式化简合并一下得到式(1):

                             S(i) = [n(i) + 1]*A - [2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]      -----(1)

 又因为到第i点存下的油等于第i-1点存下的油减去从i-1点到i点的总损耗，而从i-1点到i点的总损耗为[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]，所以有下式：

                             S(i) = S(i-1) - [2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]。

把(1)式带入上式则可得到式(2-1):

                             S(i-1) = [n(i) + 1]*A   -----(2-1)

同理有式(2-2)

                             S(i) = [n(i+1) + 1]*A  -----(2-2)

 

用(2-1)减去(2-2)得到式(3):

                             S(i-1) - S(i) = [n(i) - n(i+1)]*A      -----(3)

 

因为S(i-1) - S(i)表示的是从i-1点到i点的总损耗，而A是固定值，所以由(3)式得知，要使总损耗最小，就需要n(i) - n(i+1)最小，因为S(i-1) - S(i)必然>0，所以n(i) - n(i+1)>0，且n[i]是整数，所以就有min([n(i) - n(i+1)]) = 1。所以有式(4)：

                             n(i) - n(i+1)= 1 ==> n(i) = n(i+1) + 1   -----(4)

 把式(4)代入式(2-2)就得到式(5)：

                             S(i) = n(i)*A                          -----(5)

 再把式(5)代入式(1)并化简就可以得到式(6):

                             X(i) - X(i-1) = A/[2*n(i) + 1]        -----(6)

 X(i) - X(i-1)表示的相邻两点之间的距离，所以显然要达到终点的话就必须有： 

又因为n(m)=0，即从最后一个中转点到终点是不需要往返的。再由式(4)就有：n(m-1) = 1，n(m-2) = 2, …，即有n(i) = m-i成立。我们从终点往起点回退，再由上式就有： 

所以求出来m=8。但是m=8时，求出来的和 约等于1010.9比1000大，所以不能由式(5)直接算S(0)，而应该先算S(1) = (m-1)*A = (8-1)*500 = 3500升。也就是说在第一个中转点应该要存3500升油。然后再算从第0点到第1点的损耗，由前面的计算我们可以得到X(1) = 1000 – (500 + 500/3 + 500/5 + 500/7 + 500/9 + 500/11 + 500/13) ≈ 22.433米。

所以从第0点到第1点的总耗损可以由前面的总损耗公式[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]求出：

[2*n(1) + 1]*(22.433 - 0) = (2*7 + 1)*22.433 = 336.495

 

所以总耗油量就约为 3500 + 336.495 = 3836.495升。

Reprint from:http://blog.csdn.net/bad_sheep/article/details/5830013